Objectif
Dans un gaz, une molécule peut se désexciter spontanément ou par émission induite. Ces deux processus peuvent être caractérisés par des taux. On aimerait connaitre le rapport entre ces taux, en particulier pour le CO2 atmosphérique.
Résolution du problème
Repartons des définitions des coefficients d’Einstein pour les deux processus. La probabilité d’une émission spontanée est :
dW_{mn}^s = A_{mn}\ dtLa probabilité d’une émission induite est :
dW_{mn}^i = B_{mn}\ u_{\nu_{mn}}\ dtoù u_{\nu_{mn}} est la densité d’énergie spécifique à la fréquence \nu_{mn}. Einstein a démontré que ces deux coefficients sont liés par la relation suivante :
\frac{A_{mn}}{B_{mn}} = \frac{8\pi h \nu_{mn}^{3}}{c³}N.B.: On suppose ici que le rayonnement est isotrope et qu’on l’intègre sur tout l’angle solide, d’où l’apparition d’un facteur 4\pi au numérateur.
Il se serait tentant de se dire que cette relation donne le rapport entre les taux d’émissions spontanées et induites, mais ce serait commettre une monumentale erreur, étant donné que ce rapport n’est pas sans dimension ! En réalité, le taux de transitions induites est :
W^{i}_{mn} = B_{mn}\ u_{\nu_{mn}}Comme on sait qu’à l’équilibre thermodynamique, u_{\nu_{mn}} est donné par la loi de Planck :
u_{\nu_{mn}} = \frac{8\pi h \nu_{mn}^{3}}{c³}\ \frac{1}{e^{h\nu_{mn}/kT}-1} = \frac{A_{mn}}{B_{mn}}\ \frac{1}{e^{h\nu_{mn}/kT}-1}Le taux de transition induite devient donc :
W^{i}_{mn} = \frac{A_{mn}}{e^{h\nu_{mn}/kT}-1}Nous avons donc notre formule pour calculer le rapport W^{i}_{mn}/A_{mn} entre les taux d’émissions induites et spontanées !
Application numérique
On va donc appliquer cette formule au cas du CO2 atmosphérique (température 288 K). Le centre de la bande d’absorption où le CO2 est le plus efficace (et donc « embêtant » par rapport à la problématique de l’effet de serre anthropique…) est situé autour de 15 µm.
\lambda_{mn} = 15\ 10^{-6}\ m\ \ \longrightarrow \nu_{mn} = c / \lambda_{mn}= 3\ 10^8\ /\ 15\ 10^{-6}\ s^{-1} = 0{,}2\ 10^{14}\ s^{-1}h\nu_{mn} = 6{,}626\ 10^{-34}\ 0{,}2\ 10^{14}\ J = 1{,}3252\ 10^{-20}\ Jk\ T_{A} = 1{,}38\ 10^{-23}\ 288\ Jh\nu_{mn}/kT_A = 3{,}33 \longrightarrow 1/(e^{3{,}33} - 1) = 3{,}71\ 10^{-2}On trouve donc que W^{i}_{mn}/A_{mn} = 3{,}71\ 10^{-2}. Si on prend comme référence A_{mn} = 1\ s^{-1} (pour le CO2, c’est un peu moins), on a donc que W^{i}_{mn} = 0{,}037\ s^{-1} . Pour le CO2, les émissions induites sont donc environ 30 fois moins nombreuses par unité de temps que les émissions spontanées.