{"id":262,"date":"2021-12-20T15:17:46","date_gmt":"2021-12-20T15:17:46","guid":{"rendered":"https:\/\/unpeudephysique.be\/wp\/?page_id=262"},"modified":"2021-12-23T12:38:06","modified_gmt":"2021-12-23T12:38:06","slug":"comparaison-des-taux-des-emissions-spontanees-et-induites","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/unpeudephysique.be\/wp\/?page_id=262","title":{"rendered":"Comparaison des taux des \u00e9missions spontan\u00e9es et induites"},"content":{"rendered":"\n

Objectif<\/h4>\n\n\n\n

Dans un gaz, une mol\u00e9cule peut se d\u00e9sexciter spontan\u00e9ment ou par \u00e9mission induite. Ces deux processus peuvent \u00eatre caract\u00e9ris\u00e9s par des taux. On aimerait connaitre le rapport entre ces taux, en particulier pour le CO2<\/sub> atmosph\u00e9rique.<\/p>\n\n\n\n

R\u00e9solution du probl\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

Repartons des d\u00e9finitions des coefficients d’Einstein pour les deux processus. La probabilit\u00e9 d’une \u00e9mission spontan\u00e9e est :<\/p>\n\n\n\n

dW_{mn}^s = A_{mn}\\ dt<\/pre><\/div>\n\n\n\n
La probabilit\u00e9 d’une \u00e9mission induite est :<\/p>\n\n\n\n
dW_{mn}^i = B_{mn}\\ u_{\\nu_{mn}}\\ dt<\/pre><\/div>\n\n\n\n
o\u00f9 u_{\\nu_{mn}}<\/span> est la densit\u00e9 d’\u00e9nergie sp\u00e9cifique \u00e0 la fr\u00e9quence \\nu_{mn}<\/span>. Einstein a d\u00e9montr\u00e9 que ces deux coefficients sont li\u00e9s par la relation suivante :<\/p>\n\n\n\n
\\frac{A_{mn}}{B_{mn}} = \\frac{8\\pi h \\nu_{mn}^{3}}{c\u00b3}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
N.B.<\/span>: On suppose ici que le rayonnement est isotrope et qu’on l’int\u00e8gre sur tout l’angle solide, d’o\u00f9 l’apparition d’un facteur 4\\pi<\/span> au num\u00e9rateur. <\/p>\n\n\n\n
Il se serait tentant de se dire que cette relation donne le rapport entre les taux d’\u00e9missions spontan\u00e9es et induites, mais ce serait commettre une monumentale erreur, \u00e9tant donn\u00e9 que ce rapport n’est pas sans dimension ! En r\u00e9alit\u00e9, le taux de transitions induites est :<\/p>\n\n\n\n
W^{i}_{mn} = B_{mn}\\ u_{\\nu_{mn}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Comme on sait qu’\u00e0 l’\u00e9quilibre thermodynamique,  u_{\\nu_{mn}}<\/span> est donn\u00e9 par la loi de Planck :<\/p>\n\n\n\n
u_{\\nu_{mn}} = \\frac{8\\pi h \\nu_{mn}^{3}}{c\u00b3}\\ \\frac{1}{e^{h\\nu_{mn}\/kT}-1} = \\frac{A_{mn}}{B_{mn}}\\ \\frac{1}{e^{h\\nu_{mn}\/kT}-1}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Le taux de transition induite devient donc :<\/p>\n\n\n\n
W^{i}_{mn} = \\frac{A_{mn}}{e^{h\\nu_{mn}\/kT}-1}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Nous avons donc notre formule pour calculer le rapport W^{i}_{mn}\/A_{mn}<\/span> entre les taux d’\u00e9missions induites et spontan\u00e9es !<\/p>\n\n\n\n
Application num\u00e9rique<\/h4>\n\n\n\n
On va donc appliquer cette formule au cas du CO2<\/sub> atmosph\u00e9rique (temp\u00e9rature 288 K). Le centre de la bande d’absorption o\u00f9 le CO2<\/sub> est le plus efficace (et donc \u00ab\u00a0emb\u00eatant\u00a0\u00bb par rapport \u00e0 la probl\u00e9matique de l’effet de serre anthropique…) est situ\u00e9 autour de 15 \u00b5m.<\/p>\n\n\n\n
\\lambda_{mn} = 15\\ 10^{-6}\\ m\\ \\ \\longrightarrow \\nu_{mn} = c \/ \\lambda_{mn}= 3\\ 10^8\\ \/\\ 15\\ 10^{-6}\\ s^{-1} = 0{,}2\\ 10^{14}\\ s^{-1}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
h\\nu_{mn} = 6{,}626\\ 10^{-34}\\ 0{,}2\\ 10^{14}\\ J = 1{,}3252\\ 10^{-20}\\ J<\/pre><\/div>\n\n\n\n
k\\ T_{A} = 1{,}38\\ 10^{-23}\\ 288\\ J<\/pre><\/div>\n\n\n\n
h\\nu_{mn}\/kT_A = 3{,}33 \\longrightarrow 1\/(e^{3{,}33} - 1) = 3{,}71\\ 10^{-2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
On trouve donc que W^{i}_{mn}\/A_{mn} = 3{,}71\\ 10^{-2}<\/span>. Si on prend comme r\u00e9f\u00e9rence A_{mn} = 1\\ s^{-1}<\/span> (pour le CO2<\/sub>, c’est un peu moins), on a donc que W^{i}_{mn} = 0{,}037\\ s^{-1}<\/span> . Pour le CO2<\/sub>, les \u00e9missions induites sont donc environ 30 fois moins nombreuses par unit\u00e9 de temps que les \u00e9missions spontan\u00e9es.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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