{"id":48,"date":"2021-12-21T15:45:37","date_gmt":"2021-12-21T15:45:37","guid":{"rendered":"http:\/\/unpeudephysique.be\/wp\/?p=48"},"modified":"2021-12-22T10:30:26","modified_gmt":"2021-12-22T10:30:26","slug":"de-la-loi-de-planck-pour-les-gaz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/unpeudephysique.be\/wp\/?p=48","title":{"rendered":"De la loi de Planck pour les gaz"},"content":{"rendered":"\n

Dans les mille-feuilles argumentatifs des climato-sceptiques, on trouve parfois des affirmations saupoudr\u00e9es d’arguments scientifiques qui pr\u00e9tendent remettre en cause la science \u00e9tablie, celle des revues peer-reviewed, des ouvrages de r\u00e9f\u00e9rence \u00e9crits par des sp\u00e9cialistes et des cours enseign\u00e9s dans les universit\u00e9s. La plupart de ces affirmations sont tellement ineptes qu’un bachelier en sciences, voire m\u00eame un lyc\u00e9en, pourrait les r\u00e9futer. Quelques-unes cependant demandent un peu plus d’efforts car elles n\u00e9cessitent une connaissance assez fine de la Nature et de ses lois. Et ce sont celles-l\u00e0 qui m’int\u00e9ressent !<\/p>\n\n\n\n

Nous allons nous pencher sur une perle de l’ing\u00e9nieur fran\u00e7ais Jean-Pierre Bardinet, que l’on peut trouver dans un article<\/a> qu’il a publi\u00e9 sur le site contrepoints.org :<\/p>\n\n\n\n

 La loi de Stefan-Boltzmann n\u2019est pas applicable aux gaz, qui ne sont pas des corps noirs, ni des corps gris, alors que le GIEC l\u2019applique aux gaz.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n

On pourrait d\u00e9daigneusement rejeter cette h\u00e9r\u00e9sie \u00e9mise, apr\u00e8s tout, par un obscure trublion de la complosph\u00e8re, qui n’est pas climatologue, ni m\u00eame physicien, qui n’a m\u00eame aucune publication \u00e0 son actif, aucune carri\u00e8re acad\u00e9mique… Mais on peut aussi la prendre comme un d\u00e9fi pour l’esprit, braver la loi de Brandolini<\/a> et y trouver une occasion de challenger sa compr\u00e9hension des lois de la physique. D\u00e9fi relev\u00e9 !<\/p>\n\n\n\n

Remarque pr\u00e9liminaire :<\/span><\/p>\n\n\n\n

Avant d’aller plus loin, il convient de souligner que l’affirmation de Bardinet comporte d\u00e9j\u00e0 quelques impr\u00e9cisions. Primo, le GIEC ne fait pas de recherche, mais produit des synth\u00e8ses de publications peer-reviewed. Secundo, l’atmosph\u00e8re n’est pas juste un gaz, elle est inhomog\u00e8ne en temp\u00e9rature et en pression et est soumise aux rayonnements terrestre et solaire. Dans le present article, nous allons cependant nous restreindre aux gaz. Le cas de l’atmosph\u00e8re terrestre sera \u00e9ventuellement abord\u00e9 dans d’autres articles.<\/p>\n\n\n\n

Etat de la question dans la litt\u00e9rature scientifique<\/h3>\n\n\n\n

On sait depuis les travaux de John Tyndall<\/a> au 19\u00e8me si\u00e8cle que certains gaz sont capables d’absorber et d’\u00e9mettre du rayonnement thermique. D\u00e8s lors, il doit exister une loi qui caract\u00e9rise ce rayonnement. Si vous \u00e9cumez les ouvrages g\u00e9n\u00e9raux de physique statistiques (par exemple le classique Statistical Physics<\/em> de Gregory H. Wannier [1]<\/a>), vous ne trouverez aucune loi de rayonnement sp\u00e9cifique aux gaz<\/span>. Si vous poussez plus loin vos investigations en consultant des ouvrages ou articles sur le transfert radiatif en milieux gazeux, vous y d\u00e9couvrirez qu’en r\u00e9alit\u00e9, la loi utilis\u00e9e dans les \u00e9quations de transfert est celle de Planck.<\/p>\n\n\n\n

Le premier physicien de l’\u00e8re quantique \u00e0 s’\u00eatre pench\u00e9 de pr\u00e8s sur le rayonnement des gaz est Albert Einstein, avec son article de 1917, Zur Quantentheorie der Strahlung<\/em> [2]<\/a>. Nous allons nous y arr\u00eater un instant.<\/p>\n\n\n\n

La th\u00e9orie quantique du rayonnement<\/h3>\n\n\n\n

Dans son article de 1917, Einstein cherche \u00e0 d\u00e9crire les conditions d’\u00e9quilibre thermodynamique au sein d’un gaz. Pour cela, il y distingue d’une part les mol\u00e9cules du gaz, sujettes \u00e0 des transitions d’\u00e9tats quantiques, et d’autre part un bain de photons qui environnent ces mol\u00e9cules.<\/p>\n\n\n\n

Les mol\u00e9cules peuvent \u00eatre dans diff\u00e9rents \u00e9tats quantiques Z_1,Z_2,...,Z_n<\/span> correspondant respectivement \u00e0 des niveaux d’\u00e9nergie \\epsilon_1,\\epsilon_2,...,\\epsilon_n<\/span>. Elles peuvent effectuer des transitions entre ces \u00e9tats en \u00e9mettant ou en absorbant des photons \u00e0 des fr\u00e9quences bien pr\u00e9cises. Si ces mol\u00e9cules sont \u00e0 l’\u00e9quilibre thermodynamique \u00e0 une temp\u00e9rature T<\/em>, alors la r\u00e9partition de ces \u00e9tats est donn\u00e9e par la distribution de Boltzmann. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, s’il y a \u00e9quilibre entre les absorptions et les \u00e9missions, alors la proportion de mol\u00e9cules dans l’\u00e9tat n<\/em> est dict\u00e9e par :<\/p>\n\n\n\n

\\frac{N_n}{N}=g_n\\ e^\\frac{-\\epsilon_n}{kT}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
o\u00f9 N_n<\/span> est le nombre de mol\u00e9cules dans l’\u00e9tat n<\/em>, N<\/em> est le nombre total de mol\u00e9cules, et g_n<\/span> est la d\u00e9g\u00e9n\u00e9rescence de l’\u00e9tat.<\/p>\n\n\n\n
Ensuite, Einstein passe en revue les m\u00e9canismes quantiques qui permettent \u00e0 une mol\u00e9cule de passer de l’\u00e9tat Z_n<\/span> \u00e0 l’\u00e9tat Z_m<\/span> et vis-versa. (On va supposer que \\epsilon_n < \\epsilon_m<\/span>.) Il distingue trois processus :<\/p>\n\n\n\n
Les processus de transition d’\u00e9tat quantique<\/h4>\n\n\n\n
Emission spontan\u00e9e<\/span><\/p>\n\n\n\n
Une mol\u00e9cule dans l’\u00e9tat Z_m<\/span> va spontan\u00e9ment<\/span> se d\u00e9sexciter en \u00e9mettant un photon d’\u00e9nergie \\epsilon_{m}- \\epsilon_n<\/span> de fr\u00e9quence \\nu_{mn}<\/span>. Si on note dW<\/em> la probabilit\u00e9 de la mol\u00e9cule de se d\u00e9sexciter durant l’intervalle de temps dt<\/em>, alors on a :<\/p>\n\n\n\n
dW = A_{mn}\\ dt<\/pre><\/div>\n\n\n\n
o\u00f9 A_{mn}<\/span> est une constante caract\u00e9ristique de la mol\u00e9cule.<\/p>\n\n\n\n
Absorption stimul\u00e9e<\/span><\/p>\n\n\n\n
Une mol\u00e9cule dans l’\u00e9tat Z_n<\/span> peut absorber un photon d’\u00e9nergie \\epsilon_m - \\epsilon_n<\/span> pour se retrouver dans l’\u00e9tat Z_m<\/span>. La probabilit\u00e9 dW<\/em> qu’un tel \u00e9v\u00e9nement se produise sur l’intervalle de temps dt<\/em> est :<\/p>\n\n\n\n
dW = B_{nm}\\ \\rho(\\nu_{mn})\\ dt<\/pre><\/div>\n\n\n\n
o\u00f9 \\rho(\\nu_{mn})<\/span> est la densit\u00e9 de photons d’\u00e9nergie \\epsilon_m - \\epsilon_n<\/span>, et B_{nm}<\/span> est une constante ne d\u00e9pendant que de la mol\u00e9cule.<\/p>\n\n\n\n
Emission stimul\u00e9e<\/span><\/p>\n\n\n\n
Einstein fait ici preuve d’une audace incroyable en supposant l’existence d’un processus qui est l’exact inverse de l’absorption : une mol\u00e9cule dans l’\u00e9tat Z_m<\/span> peut, sous l’effet d’un photon d’\u00e9nergie \\epsilon_m - \\epsilon_n<\/span>, se d\u00e9sexciter en \u00e9mettant un photon de m\u00eame \u00e9nergie. De mani\u00e8re similaire \u00e0 l’absorption, on peut \u00e9crire la probabilit\u00e9 \u00e9l\u00e9mentaire d’un tel \u00e9v\u00e9nement :<\/p>\n\n\n\n
dW = B_{mn}\\ \\rho(\\nu_{mn})\\ dt<\/pre><\/div>\n\n\n\n
La d\u00e9couverte par Einstein de l’\u00e9mission stimul\u00e9e aura des cons\u00e9quences technologiques \u00e9normes vu que c’est la base du fonctionnement des lasers.<\/p>\n\n\n\n
Sans grande surprise, les coefficients A_{mn}<\/span>, B_{mn}<\/span> et B_{nm}<\/span> sont appel\u00e9s coefficients d’Einstein<\/em>.<\/p>\n\n\n\n
A la recherche des conditions d’\u00e9quilibre<\/h4>\n\n\n\n
Muni de ces trois processus, il va essayer de trouver la loi de distribution de l’\u00e9nergie \\rho(\\nu)<\/span> qui pr\u00e9vaut pour que les \u00e9changes d’\u00e9nergie entre le rayonnement et la mati\u00e8re pr\u00e9servent l’\u00e9quilibre repr\u00e9sent\u00e9 par la distribution de Boltzmann. Pour cela, il va \u00e9crire l’\u00e9quation d’\u00e9quilibre qui exprime que, par unit\u00e9 de temps, le nombre d’absorptions de photons d’\u00e9nergie h\\nu_{mn}=\\epsilon_m - \\epsilon_n<\/span> doit \u00eatre \u00e9gale au nombre d’\u00e9missions de photons \u00e0 cette m\u00eame \u00e9nergie :<\/p>\n\n\n\n
N_n\\ B_{nm}\\ \\rho(\\nu_{mn}) = N_m\\ (B_{mn}\\ \\rho + A_{mn})<\/pre><\/div>\n\n\n\n
En divisant les deux membres par N et en rempla\u00e7ant \\frac{N_n}{N}<\/span> et \\frac{N_m}{N}<\/span> par la distribution de Boltzmann, l’\u00e9quation pr\u00e9c\u00e9dente devient :<\/p>\n\n\n\n
g_n\\ e^{\\frac{-\\epsilon_n}{kT}}\\ B_{nm}\\ \\rho(\\nu_{mn}) = g_m\\ e^{\\frac{-\\epsilon_m}{kT}}\\ (B_{mn}\\ \\rho(\\nu_{mn}) + A_{mn})<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Si on fait tendre T<\/em> vers l’infini, alors \\rho<\/span> doit aussi tendre vers l’infini, et dans cette limite, l’\u00e9quation pr\u00e9c\u00e9dente donne d\u00e9j\u00e0 une premi\u00e8re cons\u00e9quence :<\/p>\n\n\n\n
g_n\\ B_{nm} = g_m\\ B_{mn}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
En r\u00e9organisant l’\u00e9quation d’\u00e9quilibre, on trouve aussi :<\/p>\n\n\n\n
\\rho(\\nu_{mn}) = \\frac{A_{mn}}{B_{mn}} \\frac{1}{e^{\\frac{\\epsilon_m - \\epsilon_n}{kT}}-1}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Si le rayonnement suit la loi de Planck, on a :<\/p>\n\n\n\n
\\rho(\\nu_{mn}) = \\frac{8\\pi h \\nu_{mn}^3}{c\u00b3} \\frac{1}{e^{\\frac{\\epsilon_m - \\epsilon_n}{kT}}-1}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
En comparant les deux formules pour \\rho<\/span>, on trouve la condition d’\u00e9quilibre liant les coefficients :<\/p>\n\n\n\n
\\frac{A_{mn}}{B_{mn}} = \\alpha \\nu_{mn}^3<\/pre><\/div>\n\n\n\n
avec la constante \\alpha = 8\\pi h \/ c^3<\/span>.<\/p>\n\n\n\n
Ces deux relations entre les trois coefficients doivent \u00eatre vraies dans toutes les situations, m\u00eame hors \u00e9quilibre, car elles ne d\u00e9pendent que des mol\u00e9cules. Par cons\u00e9quent, on vient de d\u00e9montrer que si les mol\u00e9cules sont \u00e0 l’\u00e9quilibre (au sens de la distribution de Boltzmann), alors le rayonnement dans lequel elles baignent est n\u00e9cessairement planckien pour les fr\u00e9quences o\u00f9 il y a transition. C’est le couplage entre mati\u00e8re et rayonnement par les trois processus qui permet de maintenir le double \u00e9quilibre.<\/p>\n\n\n\n
Discussion critique<\/h4>\n\n\n\n
Par rapport \u00e0 la question initiale de savoir si la loi de Planck peut s’appliquer \u00e0 un gaz, on peut formuler deux critiques :<\/p>\n\n\n\n
  1. On pourrait objecter qu’il n’y aura de rayonnement que pour les fr\u00e9quences correspondant \u00e0 des transitions quantiques, et que par cons\u00e9quent, ce rayonnement ne sera pas conforme \u00e0 la loi de Planck qui est elle continue en fr\u00e9quence. Mais cette remarque, bien que fond\u00e9e, pourrait \u00eatre formul\u00e9e pour \u00e0 peu pr\u00e8s tout ce qui rayonne. Rien ici bas ne poss\u00e8de un spectre de rayonnement thermique parfaitement continu et conforme \u00e0 la loi de Planck. Cette loi, rappelons-le, est une id\u00e9alisation. Dans la r\u00e9alit\u00e9, pour mat\u00e9rialiser un corps noir ou gris, il faut maintenir un gaz de photons \u00e0 l’\u00e9quilibre thermodynamique, et cela ne peut se faire sans qu’il y ait de couplage avec la mati\u00e8re, et un tel couplage implique n\u00e9cessairement des photons \u00e9mis ou absorb\u00e9s lors de transitions d’\u00e9tats quantiques, et donc un spectre qui ne sera pas continu.<\/li>
  2. Les collisions entre mol\u00e9cules et leurs effets \u00e9ventuels sur les \u00e9tats quantiques n’ont pas \u00e9t\u00e9 pris en compte.<\/li>
  3. Les conditions pr\u00e9cises pour que les mol\u00e9cules soient \u00e0 l’\u00e9quilibre n’ont pas \u00e9t\u00e9 explicit\u00e9es. Rien ne garantit donc que cet \u00e9quilibre puisse \u00eatre atteint.<\/li><\/ol>\n\n\n\n
    Les deux derniers points n\u00e9cessitent des d\u00e9veloppements suppl\u00e9mentaires. Mais par soucis de longueur, je les aborderai dans d’autres articles \ud83d\ude09 Stay tuned!<\/em><\/p>\n\n\n\n
    Bibliographie<\/h2>\n\n\n\n
    [1] Wannier, Gregory H. (1987). Statistical Physics<\/em>, first edition, Dover<\/p>\n\n\n\n
    [2] Einstein, A. (1917). \u00ab\u00a0Zur Quantentheorie der Strahlung\u00a0\u00bb. Physikalische Zeitscrift<\/em>. 18<\/strong>: 121-128<\/p>\n\n\n\n
    <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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